Chapitre 1 : Électrostatique

 

Chapitre 1 : Électrostatique

L’électrostatique est la branche de l’électricité qui étudie les charges électriques au repos, les forces qu’elles exercent, et les effets des champs électriques. Ce chapitre couvre les concepts de charges, champs électriques, lois fondamentales, et capacités.

1. Charges et Champs Électriques

1.1 Charges Électriques

Les charges électriques sont des propriétés fondamentales des particules subatomiques :

  • Charge Positive : Associée aux protons.
  • Charge Négative : Associée aux électrons.

Les charges se mesurent en coulombs (C). La charge élémentaire (ee) est approximativement 1.602×1019C .

Propriétés des charges :

  • Les charges de même signe se repoussent.
  • Les charges de signes opposés s’attirent.

La loi de conservation de la charge stipule que la charge totale dans un système isolé reste constante.

1.2 Champ Électrique

Le champ électrique (E\vec{E}) est une région de l'espace où une charge subit une force. Il est défini comme la force par unité de charge : E=Fq\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}F\vec{F} est la force exercée et qq la charge test.

Calcul du champ électrique : Pour une charge ponctuelle QQ, le champ électrique en un point situé à une distance rr de la charge est : E=keQr2r^\vec{E} = k_e \frac{Q}{r^2} \hat{r}  où :

  • kek_e est la constante de Coulomb (8,99×109Nm2/C28,99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2),
  • rr est la distance à la charge,
  • r^\hat{r} est le vecteur unitaire pointant vers ou éloignant de la charge.

Superposition des champs : Pour plusieurs charges, le champ total est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge : Etotal=iEi\vec{E}_{\text{total}} = \sum_{i} \vec{E}_i

2. Loi de Coulomb

La loi de Coulomb quantifie la force électrostatique entre deux charges ponctuelles q1q_1 et q2q_2 séparées par une distance rr. La force F\vec{F} est : F=keq1q2r2r^\vec{F} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} où :

  • kek_e est la constante de Coulomb,
  • r^\hat{r} est le vecteur unitaire pointant de q1q_1 vers q2q_2.

Caractéristiques :

  • La force est attractive si q1q_1 et q2q_2 sont de signes opposés.
  • La force est répulsive si les charges ont le même signe.
  • La force diminue avec le carré de la distance entre les charges.

3. Champs Électrostatiques et Potentiel Électrique

3.1 Champs Électrostatiques

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle QQ est : E=keQr2r^\vec{E} = k_e \frac{Q}{r^2} \hat{r}

Champ d’une distribution continue de charges : Pour une distribution de charges continue, le champ est obtenu par intégration : E=kedqr2r^\vec{E} = k_e \int \frac{dq}{r^2} \hat{r}

Exemple : Pour une ligne de charge infinie avec densité linéique λ\lambda, le champ à une distance rr est : E=λ2πε0r​

3.2 Potentiel Électrique

Le potentiel électrique VV en un point est l’énergie potentielle par unité de charge : V=keQrV = k_e \frac{Q}{r}

Relation entre champ et potentiel : Le champ électrique est lié au potentiel par : E=V En  coordonnées cartésiennes : Ex=VxE_x = -\frac{\partial V}{\partial x} Ey=VyE_y = -\frac{\partial V}{\partial y}  Ez=VzE_z = -\frac{\partial V}{\partial z}

Potentiel d'une distribution de charges : Pour plusieurs charges : V=keiqiriV = k_e \sum_i \frac{q_i}{r_i}

4. Conducteurs et Isolants

4.1 Conducteurs

Les conducteurs permettent aux charges de se déplacer librement. Dans un conducteur en équilibre électrostatique :

  • Le champ électrique interne est nul.
  • Les charges se distribuent sur la surface extérieure.

Exemple : Dans un conducteur sphérique, les charges se répartissent uniformément sur la surface.

4.2 Isolants

Les isolants ne permettent pas le déplacement libre des charges. Ils se polarisent en présence d’un champ électrique :

  • Les charges positives et négatives se déplacent légèrement, mais restent fixées.

5. Propriétés Électriques des Matériaux

5.1 Conductivité

La conductivité (σ\sigma) mesure la capacité d’un matériau à conduire l’électricité. Elle est liée à la résistivité (ρ\rho) : σ=1ρ\sigma = \frac{1}{\rho}

Exemple : Le cuivre a une conductivité élevée, tandis que le caoutchouc a une conductivité très faible.

5.2 Permittivité

La permittivité (ε\varepsilon) d'un matériau indique comment il affecte un champ électrique. Pour le vide, ε0\varepsilon_0 est la permittivité du vide (8,854×1012F/m8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}).

Relation avec le champ : E=Fq\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} E=1εFinduit\vec{E} = \frac{1}{\varepsilon} \vec{F}_{\text{induit}}

6. Influence d’un Champ Électrique sur les Conducteurs et Isolants

6.1 Conducteurs

Dans un conducteur, le champ électrique à l'intérieur est nul lorsque le système est à l'équilibre. Les charges libres se déplacent jusqu'à ce que le champ interne soit équilibré.

6.2 Isolants

Les isolants se polarisent sous l’effet d’un champ électrique. Les charges se déplacent légèrement, ce qui crée une séparation de charge et une répartition interne du champ.

7. Capacité et Capaciteurs

7.1 Capacité des Systèmes

La capacité (CC) d’un condensateur est la quantité de charge stockée pour une différence de potentiel donnée : C=QVC = \frac{Q}{V}QQ est la charge stockée et VV la différence de potentiel.

Unité : Farad (F), souvent exprimée en microfarads (μF), nanofarads (nF), ou picofarads (pF).

7.2 Capaciteurs

Les condensateurs sont des dispositifs qui stockent de l'énergie sous forme de charge électrique. Les types courants incluent :

  • Condensateurs à plaques parallèles : Deux plaques parallèles séparées par un isolant (diélectrique).
  • Condensateurs cylindriques : Deux cylindres concentriques.

Formule pour un condensateur à plaques parallèles : C=ε0εrAdC = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d} où :

  • ε0\varepsilon_0 est la permittivité du vide,
  • εr\varepsilon_r est la permittivité relative du diélectrique,
  • AA est l’aire des plaques,
  • dd est la distance entre les plaques.

8. Énergie Stockée dans un Capaciteur

L’énergie (EE) stockée dans un condensateur est : E=12CV2E = \frac{1}{2} C V^2

Exemple : Un condensateur de 10 μF chargé à 12 V stocke : E=12×10×106F×(12)2V2=0,72JE = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \, \text{F} \times (12)^2 \, \text{V}^2 = 0,72 \, \text{J}

Dérivation : L’énergie stockée est obtenue en intégrant la puissance (PP) fournie au condensateur : P=VdQdtP = V \frac{dQ}{dt} E=0QVdQ=12CV2E = \int_0^Q V \, dQ = \frac{1}{2} C V^2