Chapitre 1 : Matrices et opérations matricielles
Introduction aux matrices
Les matrices sont des tableaux rectangulaires de nombres disposés en lignes et colonnes. Une matrice est souvent représentée par une lettre majuscule et ses éléments par des indices indiquant leur position dans la matrice. Par exemple, une matrice de taille a lignes et colonnes.
Opérations sur les matrices
Addition de matrices
Deux matrices de même taille peuvent être additionnées en ajoutant leurs éléments correspondants. Par exemple, pour deux matrices et de même taille , leur somme est une matrice telle que .
Multiplication par un scalaire
Une matrice peut être multipliée par un nombre (scalaire), ce qui consiste à multiplier chaque élément de la matrice par ce nombre.
Multiplication de matrices
La multiplication de deux matrices est possible si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la seconde matrice. Le produit de deux matrices (de taille ) et (de taille ) est une matrice de taille , où chaque élément est obtenu en effectuant le produit scalaire de la -ème ligne de par la -ème colonne de .
Matrices spéciales
Matrice identité : Une matrice carrée de taille où tous les éléments diagonaux sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à 0.
Matrice inversible : Une matrice carrée de taille est dite inversible si elle possède une matrice inverse telle que , où est la matrice identité de taille .
Transposition et symétrie
Transposée d'une matrice : La transposée d'une matrice , notée , est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes. Ainsi, si est de taille est de taille et .
Matrice symétrique : Une matrice carrée est symétrique si , c'est-à-dire si elle est égale à sa propre transposée.
Résumé
Les matrices et leurs opérations sont essentielles en mathématiques et trouvent de nombreuses applications en sciences et en ingénierie. Comprendre les bases des matrices, leurs opérations, leurs propriétés spéciales comme l'identité et l'inversibilité, ainsi que les concepts de transposition et de symétrie, constitue un fondement important pour la suite des études mathématiques.