Chapitre 1 : Matrices et opérations matricielles

 

Chapitre 1 : Matrices et opérations matricielles

Introduction aux matrices

Les matrices sont des tableaux rectangulaires de nombres disposés en lignes et colonnes. Une matrice est souvent représentée par une lettre majuscule et ses éléments par des indices indiquant leur position dans la matrice. Par exemple, une matrice AA de taille m×nm \times n a mm lignes et nn colonnes.

Opérations sur les matrices

Addition de matrices

Deux matrices de même taille peuvent être additionnées en ajoutant leurs éléments correspondants. Par exemple, pour deux matrices AA et BB de même taille m×nm \times n, leur somme A+BA + B est une matrice CC telle que cij=aij+bijc_{ij} = a_{ij} + b_{ij} .

Multiplication par un scalaire

Une matrice peut être multipliée par un nombre (scalaire), ce qui consiste à multiplier chaque élément de la matrice par ce nombre.

Multiplication de matrices

La multiplication de deux matrices est possible si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la seconde matrice. Le produit de deux matrices AA (de taille m×pm \times p) et BB (de taille p×np \times n) est une matrice CC de taille m×nm \times n , où chaque élément cijc_{ij}  est obtenu en effectuant le produit scalaire de la ii-ème ligne de AA par la jj-ème colonne de BB.

Matrices spéciales

  • Matrice identité : Une matrice carrée II de taille n×nn \times n où tous les éléments diagonaux sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à 0.

  • Matrice inversible : Une matrice carrée AA de taille n×nn \times n est dite inversible si elle possède une matrice inverse A1A^{-1} telle que AA1=IA \cdot A^{-1} = I, où II est la matrice identité de taille n×nn \times n.

Transposition et symétrie

  • Transposée d'une matrice : La transposée d'une matrice AA, notée ATA^T, est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes. Ainsi, si AA est de taille m×n, alors ATA^T est de taille n×mn \times m et (AT)ij=Aji(A^T)_{ij} = A_{ji}.

  • Matrice symétrique : Une matrice carrée AA est symétrique si A=ATA = A^T, c'est-à-dire si elle est égale à sa propre transposée.

Résumé

Les matrices et leurs opérations sont essentielles en mathématiques et trouvent de nombreuses applications en sciences et en ingénierie. Comprendre les bases des matrices, leurs opérations, leurs propriétés spéciales comme l'identité et l'inversibilité, ainsi que les concepts de transposition et de symétrie, constitue un fondement important pour la suite des études mathématiques.