Chapitre 1 : Outils Mathématiques pour la Thermodynamique

I. Définitions d'une fonction à plusieurs variables:

Les fonctions à plusieurs variables sont fondamentales en thermodynamique car elles permettent de décrire les systèmes physiques où plusieurs paramètres varient simultanément, tels que la température, la pression et le volume.

• Définition:

Une fonction à plusieurs variables est une relation mathématique qui associe un ou plusieurs résultats à chaque ensemble de valeurs d'entrée. Par exemple, une fonction $f(x, y)$ prend deux variables indépendantes $x$ et $y$ et donne une seule valeur $z$.

II. Rappel sur les dérivées partielles:

Les dérivées partielles sont des outils essentiels pour analyser comment une fonction change par rapport à une seule de ses variables, tandis que les autres restent constantes.

II.1. Dérivées partielles:

La dérivée partielle d'une fonction $f(x, y)$ par rapport à $x$ est notée $\frac{\partial f}{\partial x}$ et est définie comme la limite du taux de variation de $f$ avec respect à $x$ lorsque $y$ est maintenu constant : $\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$

II.2. Dérivées successives d'ordres supérieurs:

Les dérivées partielles peuvent être calculées successivement pour obtenir des dérivées d'ordre supérieur. Par exemple, la dérivée seconde de $f$ par rapport à $x$ est notée $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$. Si nous prenons la dérivée partielle par rapport à $y$ après avoir pris la dérivée par rapport à $x$, nous obtenons une dérivée croisée notée $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

II.3. Dérivées d'une fonction composée de 3 variables:

Pour une fonction $f(x, y, z)$, les dérivées partielles sont prises par rapport à chacune des trois variables indépendamment : $\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}, \quad \frac{\partial f}{\partial z}$

III. Différentielles totales:

Les différentielles totales sont utilisées pour exprimer les changements infinitésimaux d'une fonction en fonction des changements de ses variables indépendantes.

III.1. Définition:

La différentielle totale d'une fonction $f(x, y)$ est donnée par : $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ où $dx$ et $dy$ sont des variations infinitésimales de $x$ et $y$.

III.2. Formes différentielles totales exactes:

Une forme différentielle totale est dite exacte si elle dérive d'une fonction potentielle. Par exemple, si $df = M(x, y) dx + N(x, y) dy$ est exacte, il existe une fonction $f$ telle que : $M = \frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{et} \quad N = \frac{\partial f}{\partial y}$

Pour vérifier si une forme différentielle est exacte, nous pouvons utiliser le critère suivant : $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

Applications en thermodynamique:

Les concepts de fonctions à plusieurs variables, de dérivées partielles, de différentielles totales et de formes différentielles exactes sont essentiels pour la thermodynamique. Par exemple :

• Équations d'état : Les équations d'état, comme l'équation des gaz parfaits $PV = nRT$, impliquent des fonctions à plusieurs variables.

• Potentiels thermodynamiques : Les potentiels thermodynamiques, tels que l'énergie interne $U$, l'enthalpie $H$, l'énergie libre de Gibbs $G$, et l'énergie libre de Helmholtz $A$, dépendent de plusieurs variables et leurs dérivées partielles fournissent des informations sur les propriétés thermodynamiques comme la capacité calorifique, la compressibilité et les coefficients de dilatation thermique.

• Transformations réversibles et irréversibles : L'étude des transformations thermodynamiques nécessite l'utilisation des différentielles totales pour analyser les changements infinitésimaux dans les systèmes.

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