Chapitre 2 : Matrices (Déterminants)

 

Chapitre 2 : Matrices (Déterminants)

1. Définition et propriétés des déterminants

Définition : Le déterminant d'une matrice carrée AA, noté det(A)\det(A), est un nombre réel associé à AA qui vérifie certaines propriétés fondamentales.

Propriétés fondamentales :

  • Effet des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes : Si l'on échange deux lignes ou deux colonnes de
A, le signe du déterminant change.

  • Déterminant d'une matrice nulle : Si une ligne ou une colonne de la matrice est nulle, alors
det(A)=0.

  • Déterminant d'une matrice diagonale : Le déterminant d'une matrice diagonale
(a11000a22000ann) est le produit de ses éléments diagonaux : det(A)=a11a22ann


2. Calcul des déterminants

Pour les matrices 2x2 :

Soit une matrice A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},

det(A)=adbc\det(A) = ad - bc

Pour les matrices 3x3 :

Soit une matrice A=(abcdefghi)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}

det(A)=aei+bfg+cdhcegbdiafh\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

La règle de Sarrus est utilisée pour calculer le déterminant d'une matrice 3x3.

3. Propriétés avancées des déterminants

  • Déterminant de matrices triangulaires : Pour une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), le déterminant est le produit de ses éléments diagonaux. Par exemple, pour une matrice triangulaire supérieure
A=(a11a120a22), det(A)=a11a22.

  • Inversibilité d'une matrice : Une matrice carrée
A est inversible si et seulement si son déterminant det(A) est non nul.

Exemple illustratif détaillé :

Calculons le déterminant de la matrice A=(2134)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

det(A)=24(1)3=8+3=11

Dans cet exemple, le calcul montre comment appliquer la formule pour une matrice 2x2.

Application des déterminants :

Les déterminants trouvent des applications dans divers domaines des mathématiques et des sciences :

  • Systèmes d'équations linéaires : Une matrice est inversible si son déterminant est non nul, ce qui est crucial pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.
  • Calcul de l'aire : Le déterminant d'une matrice 2x2 est utilisé pour calculer l'aire d'un parallélogramme formé par ses vecteurs colonnes.

  • Géométrie : Les déterminants sont utilisés pour déterminer l'orientation, l'aire et le volume dans des contextes géométriques plus complexes.