Chapitre 2 : Matrices (Déterminants)
1. Définition et propriétés des déterminants
Définition : Le déterminant d'une matrice carrée , noté , est un nombre réel associé à qui vérifie certaines propriétés fondamentales.
Propriétés fondamentales :
- Effet des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes : Si l'on échange deux lignes ou deux colonnes de
- Déterminant d'une matrice nulle : Si une ligne ou une colonne de la matrice est nulle, alors
- Déterminant d'une matrice diagonale : Le déterminant d'une matrice diagonale
2. Calcul des déterminants
Pour les matrices 2x2 :
Soit une matrice ,
Pour les matrices 3x3 :
Soit une matrice
La règle de Sarrus est utilisée pour calculer le déterminant d'une matrice 3x3.
3. Propriétés avancées des déterminants
- Déterminant de matrices triangulaires : Pour une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), le déterminant est le produit de ses éléments diagonaux. Par exemple, pour une matrice triangulaire supérieure
- Inversibilité d'une matrice : Une matrice carrée
Exemple illustratif détaillé :
Calculons le déterminant de la matrice .
Dans cet exemple, le calcul montre comment appliquer la formule pour une matrice 2x2.
Application des déterminants :
Les déterminants trouvent des applications dans divers domaines des mathématiques et des sciences :
- Systèmes d'équations linéaires : Une matrice est inversible si son déterminant est non nul, ce qui est crucial pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.
Calcul de l'aire : Le déterminant d'une matrice 2x2 est utilisé pour calculer l'aire d'un parallélogramme formé par ses vecteurs colonnes.
- Géométrie : Les déterminants sont utilisés pour déterminer l'orientation, l'aire et le volume dans des contextes géométriques plus complexes.