Chapitre 3 : Matrices (Systèmes d'Équations Linéaires)

Introduction

Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations où chaque équation est linéaire. Les systèmes d'équations linéaires apparaissent souvent en mathématiques et en sciences appliquées, et leur résolution est une compétence fondamentale en algèbre linéaire.

1. Systèmes d'Équations Linéaires et Leur Représentation Matricielle

Un système d'équations linéaires peut être représenté sous forme matricielle, ce qui facilite leur manipulation et leur résolution.

1.1 Systèmes d'Équations Linéaires

Un système d'équations linéaires en $n$ variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$ a la forme :

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

où $a_{ij}$ sont des coefficients et $b_i$ sont des constantes.

1.2 Représentation Matricielle

On peut représenter ce système sous forme matricielle en utilisant une matrice des coefficients $A$, un vecteur des variables $\mathbf{x}$, et un vecteur des constantes $\mathbf{b}$ :

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

Le système d'équations linéaires peut alors s'écrire sous forme compacte :

$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$

2. Méthodes de Résolution

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système d'équations linéaires. Nous allons explorer deux méthodes classiques : la méthode de Gauss et la méthode de Cramer.

2.1 Méthode de Gauss

La méthode de Gauss, ou élimination de Gauss, consiste à transformer le système d'équations en un système triangulaire supérieur en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes.

Étapes de la méthode de Gauss :

1. Échelonnement : Transformer la matrice $A$ en une matrice échelonnée $U$ (triangulaire supérieure) en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes.
2. Résolution par substitution arrière : Une fois $U$ obtenue, résoudre le système triangulaire supérieur $U\mathbf{x} = \mathbf{c}$ .

Exemple :

Considérons le système :

$$\begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ 4x + 4y - 3z = -2 \\ 2x - 3y + 2z = 3 \end{cases}$$

Matrice augmentée :

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 4 & 4 & -3 & -2 \\ 2 & -3 & 2 & 3 \end{array} \right)$$

Étape 1 : Échelonnement

$$\begin{aligned} &\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 4 & 4 & -3 & -2 \\ 2 & -3 & 2 & 3 \end{array} \right) \overset{L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & 2 & 3 \end{array} \right) \\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & 2 & 3 \end{array} \right) \overset{L_3 \leftarrow L_3 - L_1}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -4 \\ 0 & -6 & 3 & 2 \end{array} \right) \\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -4 \\ 0 & -6 & 3 & 2 \end{array} \right) \overset{L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 14 \end{array} \right) \end{aligned}$$

Étape 2 : Substitution arrière

Le système n'a pas de solution car la dernière ligne indique $0 = 14$, une contradiction.

2.2 Méthode de Cramer

La méthode de Cramer est applicable uniquement aux systèmes carrés (même nombre d'équations et de variables) où le déterminant de la matrice des coefficients n'est pas nul.

Formule de Cramer :

Pour un système $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ où $A$ est une matrice $n\times \mathrm{n,\; la\; solution\; est\; donnée\; par\; :}$

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

où $A_i$ est la matrice obtenue en remplaçant la $i$-ème colonne de $A$ par le vecteur $\mathbf{b}$.

Exemple :

Considérons le système :

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = 2 \end{cases}$$

Matrice des coefficients $A$ et vecteur des constantes $\mathbf{b}$ :

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Déterminant de $A$ :

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 = -1 - 6 = -7$$

Matrice $A_1$ et $A_2$ :

$$A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Déterminants de $A_1$ et $A_2$ :

$$\det(A_1) = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 = -3 - 4 = -7$$
$$\det(A_2) = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 2 - 9 = -7$$

Solutions :

$$x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-7}{-7} = 1, \quad y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-7}{-7} = 1$$

3. Interprétation Géométrique des Solutions

L'interprétation géométrique des solutions d'un système d'équations linéaires dépend du nombre de solutions et de la dimension du système.

3.1 Système de Deux Équations à Deux Inconnues

Pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues, chaque équation représente une droite dans le plan. Les solutions peuvent être :

• Unique : Si les droites se coupent en un seul point.
• Aucune : Si les droites sont parallèles et distinctes.
• Infinité : Si les droites sont confondues (coïncident).

3.2 Système de Trois Équations à Trois Inconnues

Pour un système de trois équations linéaires à trois inconnues, chaque équation représente un plan dans l'espace tridimensionnel. Les solutions peuvent être :

• Unique : Si les trois plans se coupent en un seul point.
• Aucune : Si les plans ne se coupent pas en un point commun.
• Infinité : Si les plans se coupent le long d'une ligne ou sont confondus.

Conclusion

La compréhension et la maîtrise des systèmes d'équations linéaires sont essentielles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques et scientifiques. Les méthodes de résolution comme l'élimination de Gauss et la méthode de Cramer, ainsi que l'interprétation géométrique des solutions, fournissent des outils puissants pour analyser et résoudre ces systèmes.

Edit This Article