Chapitre 4 : matrices (Espaces Vectoriels)
I. Définition et propriétés des espaces vectoriels
1. Définition d'un espace vectoriel
Un espace vectoriel sur un corps (qui peut être ou ) est un ensemble muni de deux opérations :
- Addition : Une opération telle que pour tous , .
- Multiplication scalaire : Une opération telle que pour tout ,
Ces opérations doivent satisfaire les propriétés suivantes :
- Associativité de l'addition : pour tous
- Commutativité de l'addition : .
- Élément neutre de l'addition : Il existe un élément tel que pour tout
- Inverse de l'addition : Pour tout tel que .
- Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication du corps : pour tous et .
- Élément neutre de la multiplication scalaire : pour tout est l'élément neutre du corps .
- Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle : et .
- Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire : pour tous
2. Exemples d'espaces vectoriels
- : L'ensemble des -uplets de nombres réels.
- : L'ensemble des -uplets de nombres complexes.
- : L'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle .
- : L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à .
II. Sous-espaces vectoriels
1. Définition d'un sous-espace vectoriel
Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est un sous-ensemble de qui est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations d'addition et de multiplication scalaire définies sur .
2. Propriétés des sous-espaces vectoriels
Pour vérifier qu'un sous-ensemble de est un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier les conditions suivantes :
- contient le vecteur nul de .
- est fermé sous l'addition : pour tous , .
- est fermé sous la multiplication scalaire : pour tout et ,
3. Exemples de sous-espaces vectoriels
- Le sous-espace (contient uniquement le vecteur nul).
- Tout espace vectoriel est un sous-espace de lui-même.
- Dans , l'ensemble des vecteurs de la forme forme un sous-espace vectoriel de .
III. Base et dimension
1. Définition d'une base
Une base d'un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs dans qui sont linéairement indépendants et qui engendrent , c'est-à-dire que tout vecteur
2. Définition de la dimension
La dimension d'un espace vectoriel , notée , est le nombre de vecteurs dans une base de . Si possède une base constituée de vecteurs, alors
3. Propriétés importantes
- Toute base d'un espace vectoriel a le même nombre de vecteurs.
- Un espace vectoriel de dimension finie ne peut pas avoir plus de vecteurs linéairement indépendants.
4. Exemples
- L'ensemble est une base de , donc .
- L'ensemble est une base de , donc
IV. Applications linéaires
1. Définition d'une application linéaire
Une application linéaire (ou transformation linéaire) entre deux espaces vectoriels et est une fonction qui respecte les opérations d'addition et de multiplication scalaire :
- Pour tous
- Pour tout et , .
2. Propriétés des applications linéaires
- L'image du vecteur nul est le vecteur nul : .
- Une application linéaire est entièrement déterminée par son action sur une base de .
3. Noyau et image d'une application linéaire
Le noyau d'une application linéaire est l'ensemble des vecteurs de qui sont envoyés sur le vecteur nul de :
L'image est l'ensemble des vecteurs de qui sont des images de vecteurs de :
4. Exemples
- Si est définie par et
En résumé, ce chapitre sur les espaces vectoriels couvre les concepts de base, sous-espaces, base et dimension, et les applications linéaires, fournissant ainsi une fondation essentielle pour l'étude des mathématiques et de nombreuses autres disciplines scientifiques.