Chapitre 4 : matrices (Espaces Vectoriels)

 Chapitre 4 : matrices (Espaces Vectoriels)

I. Définition et propriétés des espaces vectoriels

1. Définition d'un espace vectoriel

Un espace vectoriel VV sur un corps K\mathbb{K} (qui peut être R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}) est un ensemble muni de deux opérations :

  • Addition : Une opération +:V×VV+ : V \times V \rightarrow V telle que pour tous u,vVu, v \in V, u+vVu + v \in V.
  • Multiplication scalaire : Une opération :K×VV\cdot : \mathbb{K} \times V \rightarrow V telle que pour tout αK et tout vVv \in V, αvV .

Ces opérations doivent satisfaire les propriétés suivantes :

  1. Associativité de l'addition : (u+v)+w=u+(v+w)(u + v) + w = u + (v + w) pour tous u,v,wV .
  2. Commutativité de l'addition : u+v=v+u pour tous u,vVu, v \in V.
  3. Élément neutre de l'addition : Il existe un élément 0V0 \in V tel que u+0=uu + 0 = upour tout uV .
  4. Inverse de l'addition : Pour tout uV, il existe un élément uV-u \in V tel que u+(u)=0u + (-u) = 0.
  5. Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication du corps : α(βv)=(αβ)v\alpha \cdot (\beta \cdot v) = (\alpha \beta) \cdot v pour tous α,βK\alpha, \beta \in \mathbb{K} et vVv \in V.
  6. Élément neutre de la multiplication scalaire : 1v=v1 \cdot v = v pour tout vV , où 11 est l'élément neutre du corps K\mathbb{K} .
  7. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle : α(u+v)=αu+αv pour tous αK\alpha \in \mathbb{K} et u,vVu, v \in V.
  8. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire : (α+β)v=αv+βv(\alpha + \beta) \cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v pour tous α,βK et vV.

2. Exemples d'espaces vectoriels

  • Rn\mathbb{R}^n : L'ensemble des nn-uplets de nombres réels.
  • Cn\mathbb{C}^n : L'ensemble des nn-uplets de nombres complexes.
  • C([a,b])\mathcal{C}([a,b]) : L'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle [a,b][a,b].
  • Pn\mathbb{P}_n : L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à nn.

II. Sous-espaces vectoriels

1. Définition d'un sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel WW d'un espace vectoriel VV est un sous-ensemble de VV qui est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations d'addition et de multiplication scalaire définies sur VV.

2. Propriétés des sous-espaces vectoriels

Pour vérifier qu'un sous-ensemble WW de VV est un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier les conditions suivantes :

  • WW contient le vecteur nul de VV.
  • WW est fermé sous l'addition : pour tous u,vWu, v \in W, u+vW.
  • WW est fermé sous la multiplication scalaire : pour tout αK\alpha \in \mathbb{K} et vWv \in W, αvW .

3. Exemples de sous-espaces vectoriels

  • Le sous-espace {0}\{0\} (contient uniquement le vecteur nul).
  • Tout espace vectoriel est un sous-espace de lui-même.
  • Dans R3\mathbb{R}^3, l'ensemble des vecteurs de la forme (x,0,0)(x, 0, 0) forme un sous-espace vectoriel de R3\mathbb{R}^3.

III. Base et dimension

1. Définition d'une base

Une base d'un espace vectoriel VV est un ensemble de vecteurs {v1,v2,,vn}\{v_1, v_2, \ldots, v_n\} dans VV qui sont linéairement indépendants et qui engendrent VV, c'est-à-dire que tout vecteur vV peut s'écrire de manière unique comme une combinaison linéaire de ces vecteurs : v=α1v1+α2v2++αnvn​

2. Définition de la dimension

La dimension d'un espace vectoriel VV, notée dim(V)\dim(V), est le nombre de vecteurs dans une base de VV. Si VV possède une base constituée de nn vecteurs, alors dim(V)=n\dim(V) = n

3. Propriétés importantes

  • Toute base d'un espace vectoriel a le même nombre de vecteurs.
  • Un espace vectoriel de dimension finie nn ne peut pas avoir plus de nn vecteurs linéairement indépendants.

4. Exemples

  • L'ensemble {(1,0),(0,1)}\{(1,0), (0,1)\} est une base de R2\mathbb{R}^2, donc dim(R2)=2\dim(\mathbb{R}^2) = 2
  • L'ensemble {1,x,x2 est une base de P2\mathbb{P}_2, donc dim(P2)=3.

IV. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire

Une application linéaire (ou transformation linéaire) T:VWT : V \rightarrow W entre deux espaces vectoriels VV et WW est une fonction qui respecte les opérations d'addition et de multiplication scalaire :

  • Pour tous u,vV, T(u+v)=T(u)+T(v).
  • Pour tout αK\alpha \in \mathbb{K} et vVv \in V, T(αv)=αT(v)T(\alpha \cdot v) = \alpha \cdot T(v).

2. Propriétés des applications linéaires

  • L'image du vecteur nul est le vecteur nul : T(0)=0T(0) = 0.
  • Une application linéaire est entièrement déterminée par son action sur une base de VV.

3. Noyau et image d'une application linéaire

  • Le noyau ker(T)\ker(T) d'une application linéaire TT est l'ensemble des vecteurs de VV qui sont envoyés sur le vecteur nul de WW : ker(T)={vVT(v)=0}\ker(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0\}

  • L'image Im(T) d'une application linéaire TT est l'ensemble des vecteurs de WW qui sont des images de vecteurs de VV : Im(T)={wWw=T(v) pour un certain vV}\mathrm{Im}(T) = \{w \in W \mid w = T(v) \text{ pour un certain } v \in V\}

4. Exemples

  • Si T:R2R2T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 est définie par T(x,y)=(x+y,xy), alors ker(T)={(x,x)xR}\ker(T) = \{(x, -x) \mid x \in \mathbb{R}\} et Im(T)=R2 .

En résumé, ce chapitre sur les espaces vectoriels couvre les concepts de base, sous-espaces, base et dimension, et les applications linéaires, fournissant ainsi une fondation essentielle pour l'étude des mathématiques et de nombreuses autres disciplines scientifiques.