Chapitre 5 : La Complexité des Algorithmes et Ses Principaux Types
Introduction à la Complexité
La complexité des algorithmes est une mesure cruciale en informatique qui évalue l'efficacité d'un algorithme en termes de ressources utilisées, principalement le temps et l'espace. Comprendre la complexité aide à choisir les algorithmes les plus adaptés aux problèmes en fonction de leur performance théorique.
Importance de l'Analyse de la Complexité
L'analyse de la complexité permet de :
- Évaluer et comparer la performance des algorithmes.
- Choisir le bon algorithme en fonction des contraintes de temps et de mémoire.
- Optimiser les programmes pour qu'ils fonctionnent efficacement sur des grandes quantités de données.
Notations Asymptotiques
Les notations asymptotiques sont des outils mathématiques utilisés pour décrire le comportement de la complexité d'un algorithme lorsque la taille de l'entrée tend vers l'infini. Les principales notations sont :
Notation O (Big-O)
- Définition : représente une borne supérieure asymptotique. Un algorithme a une complexité en temps si, pour des valeurs suffisamment grandes de , le temps d'exécution ne dépasse pas multiplié par une constante.
- Exemple : Un algorithme de tri à bulles a une complexité .
Notation Ω (Big-Omega)
- Définition : représente une borne inférieure asymptotique. Un algorithme a une complexité en temps si, pour des valeurs suffisamment grandes de , le temps d'exécution est au moins
- Exemple : La recherche séquentielle a une complexité .
Notation Θ (Big-Theta)
- Définition : représente une borne asymptotique précise. Un algorithme a une complexité en temps , le temps d'exécution est à la fois et .
- Exemple : Le tri par insertion a une complexité dans le pire des cas.
Complexité en Temps
La complexité en temps mesure le nombre d'opérations exécutées par un algorithme en fonction de la taille de l'entrée.
Analyse de la Complexité en Temps
- Meilleur Cas : Le temps d'exécution minimum pour une entrée donnée. Il représente le meilleur scénario possible pour l'algorithme.
- Pire Cas : Le temps d'exécution maximum pour une entrée donnée. Il représente le scénario le plus défavorable pour l'algorithme.
- Cas Moyen : Le temps d'exécution moyen, basé sur une distribution probabiliste des entrées possibles.
Exemples sur des Algorithmes Courants
1- Tri
- Tri à bulles : Complexité en temps dans le pire des cas,
- Tri rapide (QuickSort) : Complexité en temps dans le pire des cas, mais en moyenne, il a une complexité .
2- Recherche
- Recherche linéaire : Complexité en temps
- Recherche binaire : Complexité en temps
Complexité en Espace
La complexité en espace mesure la quantité de mémoire utilisée par un algorithme en fonction de la taille de l'entrée.
Analyse de la Complexité en Espace
- Complexité en Espace Constante : L'algorithme utilise une quantité fixe de mémoire indépendamment de la taille de l'entrée.
- Complexité en Espace Linéaire : L'algorithme utilise une quantité de mémoire proportionnelle à la taille de l'entrée.
Exemples Pratiques
1- Algorithmes de Tri en Place vs Non en Place
- Tri en Place : Tri rapide (QuickSort), Tri par insertion, où la mémoire supplémentaire utilisée est minimale.
- Tri Non en Place : Tri fusion (MergeSort) où une mémoire supplémentaire proportionnelle à la taille de l'entrée est nécessaire.
Complexité des Algorithmes Récursifs
Les algorithmes récursifs ont souvent des complexités en temps et en espace plus complexes à analyser en raison de la profondeur de la récursion.
Utilisation des Relations de Récurrence pour l'Analyse
Les relations de récurrence décrivent le comportement des algorithmes récursifs. Elles sont souvent résolues par des méthodes telles que la substitution ou la méthode de l'arbre de récursion.
Exemples
1- Mergesort
- Relation de Récurrence :
- Complexité en Temps :
2- Calcul de Fibonacci
- Relation de Récurrence :
- Complexité en Temps :
Classes de Complexité
1- Classe P
- Définition : Classe des problèmes qui peuvent être résolus en temps polynomial par une machine déterministe.
- Exemple : Tri par fusion.
2- Classe NP
- Définition : Classe des problèmes pour lesquels une solution peut être vérifiée en temps polynomial.
- Exemple : Problème du voyageur de commerce.
3- Classe NP-Complète
- Définition : Problèmes dans NP qui sont les plus difficiles parmi les problèmes de NP. Si un problème NP-complet peut être résolu en temps polynomial, alors tous les problèmes NP peuvent l'être.
- Exemple : Problème du voyageur de commerce.
Problèmes de Complexité et Optimisation
Les problèmes de complexité en informatique sont souvent liés à la difficulté d'optimiser les algorithmes pour des applications pratiques. L'optimisation des algorithmes vise à améliorer leur performance en termes de temps et d'espace tout en garantissant des solutions correctes.